Les nombres entiers et les nombres decimaux forment la base de tous les calculs du college. C’est en 6eme que l’eleve consolide leur ecriture, apprend a les comparer, a les ranger et a les representer sur une droite graduee. Un chapitre a priori facile, mais qui recele quelques pieges si on ne prend pas le temps de bien fixer le vocabulaire.

Qu’est-ce qu’un nombre entier ?

Un nombre entier est un nombre sans virgule ni fraction. On les note aussi entiers naturels quand ils sont positifs ou nuls : 0, 1, 2, 3, 4, … Ils servent a compter des objets qui n’existent qu’en unites entieres : on ne parle pas de 3,5 personnes ou de 2,7 chaises.

L’ecriture d’un nombre entier se lit de gauche a droite, du chiffre le plus fort au chiffre le plus faible. Dans 2 574, le 2 vaut deux mille, le 5 vaut cinq cents, le 7 vaut soixante-dix et le 4 vaut quatre. Le tableau de numeration classique aide a placer chaque chiffre dans sa colonne (millions, milliers, centaines, dizaines, unites).

Qu’est-ce qu’un nombre decimal ?

Un nombre decimal est un nombre qui possede une virgule et une partie apres cette virgule. Il s’ecrit avec une partie entiere a gauche et une partie decimale a droite : par exemple 12,347 a une partie entiere egale a 12 et une partie decimale egale a 347.

Chaque chiffre apres la virgule a une valeur decroissante :

• Le premier chiffre apres la virgule represente les dixiemes (0,1 c’est un dixieme)
• Le deuxieme represente les centiemes (0,01 c’est un centieme)
• Le troisieme represente les milliemes (0,001 c’est un millieme)

Ainsi dans 12,347, le 3 vaut trois dixiemes, le 4 vaut quatre centiemes, le 7 vaut sept milliemes. Cette lecture est essentielle pour comprendre la comparaison des decimaux.

La valeur d’un chiffre depend de sa position

C’est l’idee cle du chapitre : dans un nombre, chaque chiffre a une valeur qui depend de la colonne dans laquelle il se trouve. Le 3 dans 300 n’a pas la meme valeur que le 3 dans 30 ou dans 3. C’est la position qui donne la valeur.

Cette regle vaut aussi pour les decimaux : dans 0,7, le 7 vaut 7 dixiemes ; dans 0,07, il vaut 7 centiemes ; dans 0,007, il vaut 7 milliemes. Placer chaque chiffre dans un tableau de numeration aide beaucoup, surtout au debut.

Comparer et ranger des nombres decimaux

C’est le point qui piege le plus les eleves. Beaucoup pensent, par mimetisme avec les entiers, que 2,45 est plus grand que 2,7 parce que 45 est plus grand que 7. C’est faux. Pour comparer deux decimaux, on procede toujours dans le meme ordre :

• On compare d’abord les parties entieres. Si elles sont differentes, la reponse est immediate
• Si les parties entieres sont egales, on compare les dixiemes. Puis les centiemes, puis les milliemes…

Une astuce simple : on peut aussi ramener les deux nombres au meme nombre de chiffres apres la virgule en ajoutant des zeros. 2,7 devient 2,70 et se compare alors directement a 2,45. On voit qu’on compare 70 centiemes a 45 centiemes, donc 2,7 est bien plus grand.

Placer des nombres sur une droite graduee

Une droite graduee est un axe sur lequel on place des reperes reguliers pour visualiser les nombres. Placer un decimal demande de bien lire la graduation : chaque petit trait represente une unite decimale precise (souvent un dixieme, parfois un centieme).

Pour placer 2,3 : on part de 0, on avance de 2 unites entieres, puis on compte 3 petits traits vers la droite si la graduation est en dixiemes. Cet exercice se fait presque toujours en controle.

Les zeros inutiles a savoir gerer

Deux points souvent mal compris :

• Un zero devant un nombre decimal ne change rien : 0,5 et 00,5 representent le meme nombre
• Un zero final apres la virgule ne change rien non plus : 2,7 et 2,70 sont egaux
• En revanche, un zero intercalaire change tout : 2,07 n’est pas egal a 2,7 (2,07 est bien plus petit)

Ce dernier point est source de nombreuses erreurs, y compris en 5eme.

Les erreurs classiques a eviter

Trois pieges reviennent le plus souvent :

• Comparer les parties decimales comme si c’etaient des entiers : c’est la faute numero 1
• Oublier qu’on peut ajouter des zeros a droite sans changer le nombre : ca simplifie la comparaison
• Confondre chiffres et nombres : un chiffre est un symbole (0 a 9), un nombre est une valeur qui utilise un ou plusieurs chiffres

Nos conseils pour maitriser le chapitre

La numeration se travaille par petits exercices reguliers. Trois habitudes aident beaucoup :

• Utiliser systematiquement le tableau de numeration au debut pour visualiser la valeur de chaque chiffre
• S’entrainer a comparer des decimaux tous les jours pendant deux semaines, meme brievement
• Lire un decimal a voix haute pour bien memoriser la structure : deux virgule sept se dit aussi « deux et sept dixiemes »

Ce chapitre est la fondation de tout le calcul au college. Prendre le temps de bien le fixer en 6eme evite des annees de confusions (les nombres relatifs) et de fautes en 5eme, 4eme et 3eme.