Nombres entiers et décimaux en 6ème : écriture et comparaison

Les nombres entiers et les nombres décimaux forment la base de tous les calculs du collège. C’est en 6ème que l’élève consolide leur écriture, apprend à les comparer, à les ranger et à les représenter sur une droite graduée. Un chapitre a priori facile, mais qui recèle quelques pièges si on ne prend pas le temps de bien fixer le vocabulaire.

Qu’est-ce qu’un nombre entier ?

Un nombre entier est un nombre sans virgule ni fraction. On les note aussi entiers naturels quand ils sont positifs ou nuls : 0, 1, 2, 3, 4, … Ils servent à compter des objets qui n’existent qu’en unités entières : on ne parle pas de 3,5 personnes ou de 2,7 chaises.

L’écriture d’un nombre entier se lit de gauche à droite, du chiffre le plus fort au chiffre le plus faible. Dans 2 574, le 2 vaut deux mille, le 5 vaut cinq cents, le 7 vaut soixante-dix et le 4 vaut quatre. Le tableau de numération classique aide à placer chaque chiffre dans sa colonne (millions, milliers, centaines, dizaines, unités).

Qu’est-ce qu’un nombre décimal ?

Un nombre décimal est un nombre qui possède une virgule et une partie après cette virgule. Il s’écrit avec une partie entière à gauche et une partie décimale à droite : par exemple 12,347 a une partie entière égale à 12 et une partie décimale égale à 347.

Chaque chiffre après la virgule a une valeur décroissante :

• Le premier chiffre après la virgule représente les dixièmes (0,1 c’est un dixième)
• Le deuxième représente les centièmes (0,01 c’est un centième)
• Le troisième représente les millièmes (0,001 c’est un millième)

Ainsi dans 12,347, le 3 vaut trois dixièmes, le 4 vaut quatre centièmes, le 7 vaut sept millièmes. Cette lecture est essentielle pour comprendre la comparaison des décimaux.

La valeur d’un chiffre dépend de sa position

C’est l’idée clé du chapitre : dans un nombre, chaque chiffre a une valeur qui dépend de la colonne dans laquelle il se trouve. Le 3 dans 300 n’a pas la même valeur que le 3 dans 30 ou dans 3. C’est la position qui donne la valeur.

Cette règle vaut aussi pour les décimaux : dans 0,7, le 7 vaut 7 dixièmes ; dans 0,07, il vaut 7 centièmes ; dans 0,007, il vaut 7 millièmes. Placer chaque chiffre dans un tableau de numération aide beaucoup, surtout au début.

Comparer et ranger des nombres décimaux

C’est le point qui piège le plus les élèves. Beaucoup pensent, par mimétisme avec les entiers, que 2,45 est plus grand que 2,7 parce que 45 est plus grand que 7. C’est faux. Pour comparer deux décimaux, on procède toujours dans le même ordre :

• On compare d’abord les parties entières. Si elles sont différentes, la réponse est immédiate
• Si les parties entières sont égales, on compare les dixièmes. Puis les centièmes, puis les millièmes…

Une astuce simple : on peut aussi ramener les deux nombres au même nombre de chiffres après la virgule en ajoutant des zéros. 2,7 devient 2,70 et se compare alors directement à 2,45. On voit qu’on compare 70 centièmes à 45 centièmes, donc 2,7 est bien plus grand.

Placer des nombres sur une droite graduée

Une droite graduée est un axe sur lequel on place des repères réguliers pour visualiser les nombres. Placer un décimal demande de bien lire la graduation : chaque petit trait représente une unité décimale précise (souvent un dixième, parfois un centième).

Pour placer 2,3 : on part de 0, on avance de 2 unités entières, puis on compte 3 petits traits vers la droite si la graduation est en dixièmes. Cet exercice se fait presque toujours en contrôle.

Les zéros inutiles à savoir gérer

Deux points souvent mal compris :

• Un zéro devant un nombre décimal ne change rien : 0,5 et 00,5 représentent le même nombre
• Un zéro final après la virgule ne change rien non plus : 2,7 et 2,70 sont égaux
• En revanche, un zéro intercalaire change tout : 2,07 n’est pas égal à 2,7 (2,07 est bien plus petit)

Ce dernier point est source de nombreuses erreurs, y compris en 5ème.

Les erreurs classiques à éviter

Trois pièges reviennent le plus souvent :

• Comparer les parties décimales comme si c’étaient des entiers : c’est la faute numéro 1
• Oublier qu’on peut ajouter des zéros à droite sans changer le nombre : ça simplifie la comparaison
• Confondre chiffres et nombres : un chiffre est un symbole (0 à 9), un nombre est une valeur qui utilise un ou plusieurs chiffres

Nos conseils pour maîtriser le chapitre

La numération se travaille par petits exercices réguliers. Trois habitudes aident beaucoup :

• Utiliser systématiquement le tableau de numération au début pour visualiser la valeur de chaque chiffre
• S’entraîner à comparer des décimaux tous les jours pendant deux semaines, même brièvement
• Lire un décimal à voix haute pour bien mémoriser la structure : deux virgule sept se dit aussi « deux et sept dixièmes »

Ce chapitre est la fondation de tout le calcul au collège. Prendre le temps de bien le fixer en 6ème évite des années de confusions (les nombres relatifs) et de fautes en 5ème, 4ème et 3ème.