Le theoreme de Pythagore est l’un des resultats les plus celebres des mathematiques, et probablement le premier grand theoreme que l’eleve rencontre au college. Il apparait en 4eme dans le programme francais, et il est utilise ensuite dans presque tous les chapitres de geometrie du lycee. C’est aussi un theoreme qui a des applications concretes tres visibles, en batiment, en topographie, en informatique graphique.

Ce qu’il faut savoir sur les triangles rectangles

Avant d’aborder le theoreme, un rappel de vocabulaire est indispensable. Un triangle rectangle est un triangle qui possede un angle droit (90 degres). Il est constitue de trois cotes qui ont chacun un nom precis :

• Les deux cotes de l’angle droit sont appeles les cotes de l’angle droit
• Le cote oppose a l’angle droit, qui est aussi le plus long, s’appelle l’hypotenuse

L’hypotenuse est toujours en face de l’angle droit, elle ne le touche pas. Cette distinction est fondamentale : le theoreme de Pythagore ne fonctionne que si on identifie bien l’hypotenuse.

L’enonce du theoreme de Pythagore

Le theoreme s’enonce ainsi : dans un triangle rectangle, le carre de l’hypotenuse est egal a la somme des carres des deux autres cotes. Si on note a et b les deux cotes de l’angle droit, et c l’hypotenuse, la formule s’ecrit :

• c au carre = a au carre + b au carre

C’est une relation entre les longueurs des cotes. Elle permet de calculer un cote quand on connait les deux autres. Elle ne donne pas les angles, seulement les cotes.

Calculer l’hypotenuse

C’est le cas le plus simple. Prenons un triangle rectangle dont les deux cotes de l’angle droit mesurent 3 cm et 4 cm. On applique la formule :

• c au carre = 3 au carre + 4 au carre
• c au carre = 9 + 16
• c au carre = 25
• c = racine carree de 25 = 5

L’hypotenuse mesure donc 5 cm. Ce triangle (3, 4, 5) est un triangle rectangle classique, connu depuis l’Antiquite. Il est meme utilise en batiment pour verifier facilement un angle droit sans equerre : on trace un cote de 3, un cote de 4, et si le troisieme fait exactement 5, on a bien un angle droit.

Calculer un cote de l’angle droit

Quand on connait l’hypotenuse et un cote, on cherche l’autre cote. La formule se reorganise :

• a au carre = c au carre – b au carre

Attention au signe : on soustrait au carre de l’hypotenuse le carre du cote connu, pas l’inverse. C’est une source d’erreur frequente.

Exemple : un triangle rectangle a une hypotenuse de 10 cm et un cote de 6 cm. Cherchons l’autre cote.

• a au carre = 10 au carre – 6 au carre
• a au carre = 100 – 36
• a au carre = 64
• a = racine carree de 64 = 8 cm

Le troisieme cote mesure 8 cm.

La reciproque du theoreme de Pythagore

C’est un autre usage du theoreme, tout aussi important : verifier si un triangle est rectangle a partir de ses trois cotes. La reciproque s’enonce ainsi : si dans un triangle, le carre du plus grand cote est egal a la somme des carres des deux autres cotes, alors ce triangle est rectangle, et son angle droit est en face du plus grand cote.

Pour l’appliquer, on identifie d’abord le plus grand cote (candidat au role d’hypotenuse). On calcule son carre. On calcule la somme des carres des deux autres cotes. Si les deux resultats sont egaux, le triangle est rectangle. Sinon, il ne l’est pas.

Exemple : un triangle a pour cotes 5 cm, 12 cm et 13 cm. Le plus grand est 13. Calculons : 13 au carre = 169. Calculons aussi 5 au carre + 12 au carre = 25 + 144 = 169. Les deux resultats sont egaux, donc le triangle est rectangle, avec l’angle droit oppose au cote 13.

La contraposee : prouver qu’un triangle n’est pas rectangle

Une variante utile : si le carre du plus grand cote n’est pas egal a la somme des carres des deux autres, alors le triangle n’est pas rectangle. On l’utilise en controle quand la question est « ce triangle est-il rectangle ? » et que la reponse est non.

Les erreurs classiques a eviter

Trois pieges reviennent le plus souvent :

• Confondre les cotes : appliquer le theoreme sans identifier prealablement l’hypotenuse mene toujours a un resultat faux
• Oublier la racine carree en fin de calcul : on trouve c au carre = 25 et on ecrit c = 25 au lieu de c = 5
• Mal appliquer la reciproque : verifier egalite avec le petit ou le moyen cote au lieu du plus grand

Une bonne habitude : toujours faire un schema, meme rapide, et repérer visuellement l’angle droit et l’hypotenuse avant de calculer.

Nos conseils pour reussir

Le theoreme de Pythagore s’apprend par la pratique. Trois habitudes accelerent la maitrise :

• Refaire au moins un exercice de chaque type (calcul d’hypotenuse, calcul d’un cote, reciproque) tous les deux jours pendant deux semaines
• Toujours faire un schema avant d’appliquer la formule
• Verifier la coherence du resultat : l’hypotenuse est toujours le plus grand cote. Si on trouve une hypotenuse plus petite que les autres cotes, c’est qu’il y a une erreur

Ce theoreme est aussi utilise en 3eme dans les triangles rectangles avec la trigonometrie (les fonctions lineaires et affines), et en Seconde dans les reperes du plan pour calculer des distances entre points. Bien le maitriser en 4eme, c’est prendre de l’avance pour toute la suite du cursus.