Théorème de Pythagore en 4ème : énoncé, calcul et réciproque

Le théorème de Pythagore est l’un des résultats les plus célèbres des mathématiques, et probablement le premier grand théorème que l’élève rencontre au collège. Il apparaît en 4ème dans le programme français, et il est utilisé ensuite dans presque tous les chapitres de géométrie du lycée. C’est aussi un théorème qui a des applications concrètes très visibles, en bâtiment, en topographie, en informatique graphique.

Ce qu’il faut savoir sur les triangles rectangles

Avant d’aborder le théorème, un rappel de vocabulaire est indispensable. Un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit (90 degrés). Il est constitué de trois côtés qui ont chacun un nom précis :

• Les deux côtés de l’angle droit sont appelés les côtés de l’angle droit
• Le côté opposé à l’angle droit, qui est aussi le plus long, s’appelle l’hypoténuse

L’hypoténuse est toujours en face de l’angle droit, elle ne le touche pas. Cette distinction est fondamentale : le théorème de Pythagore ne fonctionne que si on identifie bien l’hypoténuse.

L’énoncé du théorème de Pythagore

Le théorème s’énonce ainsi : dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Si on note a et b les deux côtés de l’angle droit, et c l’hypoténuse, la formule s’écrit :

• c au carré = a au carré + b au carré

C’est une relation entre les longueurs des côtés. Elle permet de calculer un côté quand on connaît les deux autres. Elle ne donne pas les angles, seulement les côtés.

Calculer l’hypoténuse

C’est le cas le plus simple. Prenons un triangle rectangle dont les deux côtés de l’angle droit mesurent 3 cm et 4 cm. On applique la formule :

• c au carré = 3 au carré + 4 au carré
• c au carré = 9 + 16
• c au carré = 25
• c = racine carrée de 25 = 5

L’hypoténuse mesure donc 5 cm. Ce triangle (3, 4, 5) est un triangle rectangle classique, connu depuis l’Antiquité. Il est même utilisé en bâtiment pour vérifier facilement un angle droit sans équerre : on trace un côté de 3, un côté de 4, et si le troisième fait exactement 5, on a bien un angle droit.

Calculer un côté de l’angle droit

Quand on connaît l’hypoténuse et un côté, on cherche l’autre côté. La formule se réorganise :

• a au carré = c au carré – b au carré

Attention au signe : on soustrait au carré de l’hypoténuse le carré du côté connu, pas l’inverse. C’est une source d’erreur fréquente.

Exemple : un triangle rectangle a une hypoténuse de 10 cm et un côté de 6 cm. Cherchons l’autre côté.

• a au carré = 10 au carré – 6 au carré
• a au carré = 100 – 36
• a au carré = 64
• a = racine carrée de 64 = 8 cm

Le troisième côté mesure 8 cm.

La réciproque du théorème de Pythagore

C’est un autre usage du théorème, tout aussi important : vérifier si un triangle est rectangle à partir de ses trois côtés. La réciproque s’énonce ainsi : si dans un triangle, le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle, et son angle droit est en face du plus grand côté.

Pour l’appliquer, on identifie d’abord le plus grand côté (candidat au rôle d’hypoténuse). On calcule son carré. On calcule la somme des carrés des deux autres côtés. Si les deux résultats sont égaux, le triangle est rectangle. Sinon, il ne l’est pas.

Exemple : un triangle a pour côtés 5 cm, 12 cm et 13 cm. Le plus grand est 13. Calculons : 13 au carré = 169. Calculons aussi 5 au carré + 12 au carré = 25 + 144 = 169. Les deux résultats sont égaux, donc le triangle est rectangle, avec l’angle droit opposé au côté 13.

La contraposée : prouver qu’un triangle n’est pas rectangle

Une variante utile : si le carré du plus grand côté n’est pas égal à la somme des carrés des deux autres, alors le triangle n’est pas rectangle. On l’utilise en contrôle quand la question est « ce triangle est-il rectangle ? » et que la réponse est non.

Les erreurs classiques à éviter

Trois pièges reviennent le plus souvent :

• Confondre les côtés : appliquer le théorème sans identifier préalablement l’hypoténuse mène toujours à un résultat faux
• Oublier la racine carrée en fin de calcul : on trouve c au carré = 25 et on écrit c = 25 au lieu de c = 5
• Mal appliquer la réciproque : vérifier égalité avec le petit ou le moyen côté au lieu du plus grand

Une bonne habitude : toujours faire un schéma, même rapide, et repérer visuellement l’angle droit et l’hypoténuse avant de calculer.

Nos conseils pour réussir

Le théorème de Pythagore s’apprend par la pratique. Trois habitudes accélèrent la maîtrise :

• Refaire au moins un exercice de chaque type (calcul d’hypoténuse, calcul d’un côté, réciproque) tous les deux jours pendant deux semaines
• Toujours faire un schéma avant d’appliquer la formule
• Vérifier la cohérence du résultat : l’hypoténuse est toujours le plus grand côté. Si on trouve une hypoténuse plus petite que les autres côtés, c’est qu’il y a une erreur

Ce théorème est aussi utilisé en 3ème dans les triangles rectangles avec la trigonométrie (les fonctions linéaires et affines), et en Seconde dans les repères du plan pour calculer des distances entre points. Bien le maîtriser en 4ème, c’est prendre de l’avance pour toute la suite du cursus.