Les fonctions lineaires et affines sont deux des grands chapitres du programme de 3eme. C’est le premier vrai contact de l’eleve avec la notion de fonction dans son sens moderne, et surtout avec sa representation graphique. Le chapitre parait abstrait au debut, mais il devient tres accessible avec un peu de methode et beaucoup d’exemples concrets.

Rappel : qu’est-ce qu’une fonction ?

Une fonction est un procede qui, a chaque nombre choisi (appele antecedent), associe un unique autre nombre (appele image). On la note souvent avec la lettre f, et l’image de x s’ecrit f(x), qui se lit « f de x ».

Concretement, une fonction, c’est une regle. Par exemple : « je prends un nombre, je le multiplie par 3, je lui ajoute 2 ». Applique a 5, cette regle donne 5 x 3 + 2 = 17. On dit que l’image de 5 par cette fonction est 17, ou que 17 a pour antecedent 5.

La fonction lineaire : la plus simple des fonctions

Une fonction lineaire est une fonction qui a chaque nombre associe le meme nombre multiplie par un coefficient constant. Sa forme generale est f(x) = ax, ou a est un nombre reel fixe appele coefficient de la fonction.

Quelques exemples : f(x) = 3x, g(x) = -5x, h(x) = 0,5x. Toutes ces fonctions sont lineaires. Pour trouver l’image d’un nombre par une fonction lineaire, il suffit de le multiplier par a.

Une propriete cle : les fonctions lineaires representent toujours des situations de proportionnalite. Si on double x, on double f(x). Si on triple x, on triple f(x). C’est la marque des fonctions lineaires.

La fonction affine : une fonction lineaire avec un decalage

Une fonction affine est un peu plus generale. Sa forme est f(x) = ax + b, avec a et b deux nombres reels fixes. Le nombre a s’appelle le coefficient directeur, et b s’appelle l’ordonnee a l’origine.

Une fonction lineaire est donc un cas particulier de fonction affine, celui ou b vaut 0. Toutes les fonctions lineaires sont des fonctions affines, mais toutes les fonctions affines ne sont pas des fonctions lineaires.

Exemple : f(x) = 2x + 5. Pour x = 3, on obtient f(3) = 2 x 3 + 5 = 11. Pour x = 0, on obtient f(0) = 5.

La representation graphique

C’est un des points cles du chapitre : la representation graphique d’une fonction lineaire ou affine est toujours une droite. Cette regle est absolue et permet de tracer facilement le graphique.

Pour une fonction lineaire f(x) = ax : la droite passe par l’origine du repere (le point 0,0) et sa pente est a. Si a est positif, la droite monte de gauche a droite. Si a est negatif, elle descend.

Pour une fonction affine f(x) = ax + b : la droite passe par le point (0, b), c’est-a-dire qu’elle coupe l’axe des ordonnees en b. Sa pente reste a. Le b determine simplement de combien la droite est deplacee verticalement.

Le coefficient directeur, ce qu’il represente

Le coefficient directeur a mesure la pente de la droite. Il indique comment change f(x) quand x augmente de 1. Si a = 3, alors quand x augmente de 1, f(x) augmente de 3. Si a = -2, quand x augmente de 1, f(x) diminue de 2.

Cette lecture est tres visuelle sur le graphique : plus a est grand en valeur absolue, plus la droite est inclinee. Une pente de 1 fait un angle de 45 degres avec l’axe des abscisses.

Determiner l’expression d’une fonction affine

Trois cas classiques sont a savoir traiter :

• Connaissant a et un point de la droite : on remplace dans f(x) = ax + b pour trouver b
• Connaissant deux points de la droite : on calcule d’abord le coefficient directeur avec la formule a = (yB – yA) / (xB – xA), puis on trouve b
• Connaissant la droite sur un graphique : on lit b (l’ordonnee a l’origine) directement, et on calcule a en prenant deux points de la droite

Cette derniere methode graphique est tres utile en controle quand on a un dessin.

Les erreurs classiques a eviter

Trois pieges reviennent souvent en 3eme :

• Confondre coefficient directeur et ordonnee a l’origine : dans f(x) = 4x + 7, le coefficient directeur est 4, pas 7
• Oublier que la lineaire passe par l’origine : sans ce reperage visuel, on trace une droite mal placee
• Mal appliquer la formule du coefficient directeur : c’est bien (yB – yA) / (xB – xA), pas l’inverse

Une bonne habitude : refaire le calcul avec x=0 pour verifier qu’on trouve bien b, et avec x=1 pour verifier que a est coherent.

Les applications concretes

Ces fonctions ne sont pas juste theoriques. On les rencontre partout :

• Un forfait telephonique avec 20 euros de base plus 0,05 euro par minute : f(x) = 0,05x + 20 (fonction affine)
• La distance parcourue a vitesse constante : d = v x t (fonction lineaire de t)
• Une location de voiture a 100 euros plus 0,50 euro par km : f(x) = 0,50x + 100

Reconnaitre une fonction affine dans un enonce, c’est deja avoir fait la moitie du travail.

Nos conseils pour reussir

Le chapitre s’apprend par la construction de graphiques et par la lecture de situations. Trois habitudes accelerent la maitrise :

• Tracer une dizaine de droites correspondant a differentes fonctions affines pour bien voir l’effet de a et de b
• Passer regulierement de la forme algebrique a la forme graphique dans les deux sens
• S’exercer a reconnaitre les situations reelles qui correspondent a des fonctions affines : forfaits, remises progressives, evolutions lineaires

Les fonctions lineaires et affines sont les fondations des fonctions plus complexes qu’on aborde au lycee (fonctions du second degre (la resolution d’equations), exponentielles, etc.). Les maitriser en 3eme, c’est prendre un bel elan pour la seconde.