Fonction linéaire et fonction affine en 3ème : le cours complet

Les fonctions linéaires et affines sont deux des grands chapitres du programme de 3ème. C’est le premier vrai contact de l’élève avec la notion de fonction dans son sens moderne, et surtout avec sa représentation graphique. Le chapitre paraît abstrait au début, mais il devient très accessible avec un peu de méthode et beaucoup d’exemples concrets.

Rappel : qu’est-ce qu’une fonction ?

Une fonction est un procédé qui, à chaque nombre choisi (appelé antécédent), associe un unique autre nombre (appelé image). On la note souvent avec la lettre f, et l’image de x s’écrit f(x), qui se lit « f de x ».

Concrètement, une fonction, c’est une règle. Par exemple : « je prends un nombre, je le multiplie par 3, je lui ajoute 2 ». Appliqué à 5, cette règle donne 5 x 3 + 2 = 17. On dit que l’image de 5 par cette fonction est 17, ou que 17 a pour antécédent 5.

La fonction linéaire : la plus simple des fonctions

Une fonction linéaire est une fonction qui à chaque nombre associe le même nombre multiplié par un coefficient constant. Sa forme générale est f(x) = ax, où a est un nombre réel fixe appelé coefficient de la fonction.

Quelques exemples : f(x) = 3x, g(x) = -5x, h(x) = 0,5x. Toutes ces fonctions sont linéaires. Pour trouver l’image d’un nombre par une fonction linéaire, il suffit de le multiplier par a.

Une propriété clé : les fonctions linéaires représentent toujours des situations de proportionnalité. Si on double x, on double f(x). Si on triple x, on triple f(x). C’est la marque des fonctions linéaires.

La fonction affine : une fonction linéaire avec un décalage

Une fonction affine est un peu plus générale. Sa forme est f(x) = ax + b, avec a et b deux nombres réels fixes. Le nombre a s’appelle le coefficient directeur, et b s’appelle l’ordonnée à l’origine.

Une fonction linéaire est donc un cas particulier de fonction affine, celui où b vaut 0. Toutes les fonctions linéaires sont des fonctions affines, mais toutes les fonctions affines ne sont pas des fonctions linéaires.

Exemple : f(x) = 2x + 5. Pour x = 3, on obtient f(3) = 2 x 3 + 5 = 11. Pour x = 0, on obtient f(0) = 5.

La représentation graphique

C’est un des points clés du chapitre : la représentation graphique d’une fonction linéaire ou affine est toujours une droite. Cette règle est absolue et permet de tracer facilement le graphique.

Pour une fonction linéaire f(x) = ax : la droite passe par l’origine du repère (le point 0,0) et sa pente est a. Si a est positif, la droite monte de gauche à droite. Si a est négatif, elle descend.

Pour une fonction affine f(x) = ax + b : la droite passe par le point (0, b), c’est-à-dire qu’elle coupe l’axe des ordonnées en b. Sa pente reste a. Le b détermine simplement de combien la droite est déplacée verticalement.

Le coefficient directeur, ce qu’il représente

Le coefficient directeur a mesure la pente de la droite. Il indique comment change f(x) quand x augmente de 1. Si a = 3, alors quand x augmente de 1, f(x) augmente de 3. Si a = -2, quand x augmente de 1, f(x) diminue de 2.

Cette lecture est très visuelle sur le graphique : plus a est grand en valeur absolue, plus la droite est inclinée. Une pente de 1 fait un angle de 45 degrés avec l’axe des abscisses.

Déterminer l’expression d’une fonction affine

Trois cas classiques sont à savoir traiter :

• Connaissant a et un point de la droite : on remplace dans f(x) = ax + b pour trouver b
• Connaissant deux points de la droite : on calcule d’abord le coefficient directeur avec la formule a = (yB – yA) / (xB – xA), puis on trouve b
• Connaissant la droite sur un graphique : on lit b (l’ordonnée à l’origine) directement, et on calcule a en prenant deux points de la droite

Cette dernière méthode graphique est très utile en contrôle quand on a un dessin.

Les erreurs classiques à éviter

Trois pièges reviennent souvent en 3ème :

• Confondre coefficient directeur et ordonnée à l’origine : dans f(x) = 4x + 7, le coefficient directeur est 4, pas 7
• Oublier que la linéaire passe par l’origine : sans ce repérage visuel, on trace une droite mal placée
• Mal appliquer la formule du coefficient directeur : c’est bien (yB – yA) / (xB – xA), pas l’inverse

Une bonne habitude : refaire le calcul avec x=0 pour vérifier qu’on trouve bien b, et avec x=1 pour vérifier que a est cohérent.

Les applications concrètes

Ces fonctions ne sont pas juste théoriques. On les rencontre partout :

• Un forfait téléphonique avec 20 euros de base plus 0,05 euro par minute : f(x) = 0,05x + 20 (fonction affine)
• La distance parcourue à vitesse constante : d = v x t (fonction linéaire de t)
• Une location de voiture à 100 euros plus 0,50 euro par km : f(x) = 0,50x + 100

Reconnaître une fonction affine dans un énoncé, c’est déjà avoir fait la moitié du travail.

Nos conseils pour réussir

Le chapitre s’apprend par la construction de graphiques et par la lecture de situations. Trois habitudes accélèrent la maîtrise :

• Tracer une dizaine de droites correspondant à différentes fonctions affines pour bien voir l’effet de a et de b
• Passer régulièrement de la forme algébrique à la forme graphique dans les deux sens
• S’exercer à reconnaître les situations réelles qui correspondent à des fonctions affines : forfaits, remises progressives, évolutions linéaires

Les fonctions linéaires et affines sont les fondations des fonctions plus complexes qu’on aborde au lycée (fonctions du second degré (la résolution d’équations), exponentielles, etc.). Les maîtriser en 3ème, c’est prendre un bel élan pour la seconde.