La division est l’une des quatre operations fondamentales, mais c’est celle qui donne le plus de fil a retordre au college. Poser une division, gerer les retenues, calculer un quotient decimal, tout cela demande de la methode et beaucoup de pratique. Une fois les gestes acquis, la division devient un automatisme qui rend service partout ailleurs en mathematiques.

Deux types de divisions a distinguer

Le programme du college introduit progressivement deux formes de divisions qu’il faut bien differencier :

• La division euclidienne, ou division avec reste, apprise des le primaire et consolidee en 6eme et 5eme
• La division decimale, ou on continue le calcul au-dela de la virgule, introduite en 5eme et generalisee en 4eme

Chacune a sa methode et son usage. Choisir la bonne selon le contexte est la premiere etape.

La division euclidienne : quotient et reste

C’est la division avec reste. Elle repond a la question : combien de fois le diviseur « tient » dans le nombre a diviser ? Prenons 17 divise par 5. On sait que 5 x 3 = 15, et 15 est plus petit que 17. On sait aussi que 5 x 4 = 20, et 20 est plus grand que 17. Le quotient euclidien est donc 3, et le reste est 17 – 15 = 2.

On ecrit cela sous la forme 17 = 5 x 3 + 2. Cette ecriture doit toujours respecter deux regles :

• Le reste doit etre positif ou nul
• Le reste doit etre toujours plus petit que le diviseur

Sans quoi la division est mal faite. Verifier ces deux conditions permet de reperer une erreur immediatement.

La division decimale : continuer apres la virgule

Quand on veut aller plus loin que la division euclidienne, on continue le calcul en ajoutant des zeros au dividende. Prenons 17 divise par 5. On sait que 15 rentre 3 fois dans 17, avec un reste de 2. Au lieu de s’arreter, on ajoute une virgule au quotient et un zero au reste : 2 devient 20. Or 20 divise par 5 fait 4. Le quotient decimal est donc 3,4.

On peut continuer aussi longtemps qu’on veut. Parfois la division tombe juste (le reste devient 0), parfois elle donne un decimal illimite qu’il faut arrondir.

Poser une division correctement

La disposition sur le papier est standardisee. On ecrit le dividende a gauche, un trait vertical, puis le diviseur a droite. Sous le diviseur, on trace un trait horizontal sous lequel s’ecrira le quotient. La technique consiste ensuite a « abaisser » les chiffres du dividende un par un, en cherchant a chaque etape combien de fois le diviseur rentre dans le nombre partiel obtenu.

Cette disposition mecanique est importante : elle evite les confusions entre les chiffres et permet de suivre le calcul etape par etape. Beaucoup d’erreurs viennent d’une disposition brouillonne.

Verifier une division

Un reflexe utile pour eviter les erreurs : verifier avec la multiplication. Une division euclidienne se verifie avec la formule dividende = diviseur x quotient + reste. Pour 17 = 5 x 3 + 2, on refait le calcul de gauche : 5 x 3 = 15, 15 + 2 = 17. On retrouve le dividende, la division est correcte.

Pour une division decimale sans reste, on verifie avec dividende = diviseur x quotient. Pour 17 divise par 5 = 3,4, on fait 5 x 3,4 = 17. Ca colle.

Diviser par 10, 100, 1000

Une categorie particuliere de divisions est a maitriser au college : la division par une puissance de 10. Elle consiste juste a decaler la virgule vers la gauche. Diviser par 10 decale d’un rang, par 100 de deux rangs, par 1000 de trois rangs.

• 456 divise par 10 = 45,6
• 456 divise par 100 = 4,56
• 456 divise par 1000 = 0,456

C’est une operation a automatiser tot, elle sert dans les conversions d’unites, les pourcentages, les grandeurs composees.

Les erreurs qui reviennent souvent

Trois pieges classiques bloquent en controle :

• Oublier le zero dans le quotient : quand le diviseur ne rentre pas dans le chiffre abaisse, il faut mettre un 0 au quotient et abaisser le chiffre suivant
• Mal placer la virgule : on l’ajoute au quotient au moment ou on ajoute un zero au reste pour la premiere fois
• Confondre reste et quotient : la case dans laquelle on ecrit la reponse depend du type de division demande

Une lecture attentive de la question permet d’eviter la derniere confusion. « Combien de boites de 12 oeufs peut-on remplir avec 50 oeufs ? » demande un quotient euclidien. « Quelle est la moyenne de trois notes ? » demande un quotient decimal.

Nos conseils pour reussir

La division s’apprend uniquement par la pratique. Trois habitudes accelerent la maitrise :

• Poser toutes ses divisions au brouillon, meme celles qu’on pense pouvoir faire de tete, tant qu’on n’est pas a l’aise
• Verifier systematiquement le resultat avec la multiplication
• Traiter les operations sur les decimaux en gardant la virgule alignee dans le calcul pose

La division est le fondement de beaucoup d’autres chapitres : fractions, pourcentages, grandeurs composees (le cours sur les fractions), moyennes. Bien la maitriser au college, c’est se preparer serein pour tout ce qui vient apres.