Les equations sont l’un des chapitres les plus fondamentaux du college. En 3eme, l’eleve consolide la resolution des equations du premier degre et decouvre les equations produit, qui font le lien avec la factorisation et preparent les equations du second degre du lycee. Un chapitre exigeant mais qui devient tres accessible avec de la methode.

Qu’est-ce qu’une equation ?

Une equation est une egalite mathematique qui contient une lettre appelee inconnue. Cette inconnue represente un nombre qu’on cherche a trouver. On dit qu’une valeur « verifie » l’equation ou « est solution » de l’equation si, quand on remplace l’inconnue par cette valeur, l’egalite devient vraie.

Exemple : dans l’equation 2x + 3 = 11, si on remplace x par 4, on obtient 2 x 4 + 3 = 8 + 3 = 11. L’egalite est vraie, donc x = 4 est solution. Resoudre une equation, c’est trouver toutes ses solutions.

La regle d’or : faire la meme operation des deux cotes

Le principe central de la resolution est d’une simplicite absolue : on peut toujours faire la meme operation des deux cotes de l’egalite sans la fausser. Ajouter le meme nombre, soustraire le meme nombre, multiplier par le meme nombre non nul, diviser par le meme nombre non nul.

L’objectif est d’isoler l’inconnue, c’est-a-dire de la retrouver seule d’un cote et un nombre de l’autre. C’est comme si on desemballait un cadeau : on retire une couche a la fois, en faisant toujours la meme chose des deux cotes.

Resoudre une equation du premier degre : la methode

Pour resoudre 3x – 5 = 10, on procede par etapes :

• Isoler le terme en x : on ajoute 5 des deux cotes. On obtient 3x = 15
• Isoler x : on divise par 3 des deux cotes. On obtient x = 5

La solution est donc x = 5. On peut verifier : 3 x 5 – 5 = 15 – 5 = 10. C’est bien vrai, la solution est correcte.

Le principe est toujours le meme : d’abord regrouper les x d’un cote, puis les nombres de l’autre, ensuite diviser par le coefficient de x. Cette methode ne rate jamais.

Que faire quand il y a des x des deux cotes ?

Prenons 5x + 3 = 2x + 12. On veut regrouper les x d’un seul cote. On soustrait 2x aux deux cotes :

• 5x – 2x + 3 = 12
• 3x + 3 = 12

Ensuite on soustrait 3 des deux cotes :

• 3x = 9

On divise par 3 :

• x = 3

Verification : 5 x 3 + 3 = 18 et 2 x 3 + 12 = 18. Les deux cotes valent la meme chose, x = 3 est bien solution.

L’equation produit : le nouveau chapitre de 3eme

En 3eme, on decouvre les equations produit. Ce sont des equations de la forme (ax + b)(cx + d) = 0. Elles semblent compliquees mais reposent sur une regle tres simple : si un produit est nul, alors au moins un de ses facteurs est nul.

Concretement, pour resoudre (2x – 6)(x + 5) = 0, on cherche a quel moment chaque facteur peut valoir 0 :

• 2x – 6 = 0 donne 2x = 6, donc x = 3
• x + 5 = 0 donne x = -5

Les deux solutions sont donc x = 3 et x = -5. Une equation produit a en general deux solutions (parfois une seule si les deux facteurs donnent la meme).

Utiliser la factorisation pour resoudre

Souvent, l’equation n’est pas donnee sous forme de produit. Il faut d’abord la factoriser pour l’y ramener. Par exemple : x2 – 25 = 0. On reconnait une identite remarquable a2 – b2 = (a-b)(a+b), donc x2 – 25 = (x-5)(x+5). L’equation devient (x-5)(x+5) = 0, avec pour solutions x = 5 et x = -5.

Reconnaitre les cas classiques de factorisation est indispensable en 3eme : facteur commun, identites remarquables (les identites remarquables) (a2 – b2, (a+b)2, (a-b)2).

Verifier une solution

Un reflexe indispensable : verifier chaque solution en la remplacant dans l’equation initiale. Cela detecte immediatement une erreur de calcul. Trop d’eleves rendent une equation avec un resultat faux qui aurait pu etre repere en 30 secondes.

Les erreurs classiques a eviter

Trois pieges reviennent souvent en 3eme :

• Changer d’operation en passant d’un cote a l’autre : si on soustrait 5 a gauche, il faut soustraire 5 a droite, pas ajouter 5
• Oublier de diviser tous les termes : dans 3x + 6 = 12, si on divise par 3, ca donne x + 2 = 4, pas 3x + 2 = 4
• Confondre solutions d’une equation produit : (2x – 4)(x + 3) = 0 n’a pas pour solution x = 4, mais x = 2 (obtenu en resolvant 2x – 4 = 0)

Une lecture attentive de chaque etape et une verification systematique evitent la plupart de ces erreurs.

Les applications au probleme

Le vrai enjeu, en 3eme, est de savoir traduire un probleme en equation. La demarche est toujours la meme :

• Lire l’enonce et identifier ce qu’on cherche (l’inconnue)
• Ecrire l’equation qui traduit les conditions du probleme
• Resoudre l’equation
• Verifier la coherence du resultat avec le contexte

Cette derniere etape est importante : si l’equation donne un age negatif, c’est qu’il y a eu une erreur de traduction.

Nos conseils pour reussir

Les equations s’apprennent par la pratique reguliere. Trois habitudes accelerent la maitrise :

• Refaire cinq equations differentes chaque jour pendant deux semaines pour ancrer les gestes
• Ecrire chaque etape sur une nouvelle ligne, meme si ca prend plus de place. Cela evite les erreurs de recopie
• Toujours verifier la solution en la remplacant dans l’equation initiale, meme pour les equations simples

Les equations sont utilisees partout au lycee : geometrie, fonctions, physique, chimie. Bien les maitriser en 3eme, c’est preparer serein le passage en seconde.